약수-배수, 초등학교 때 꼭 알아 두어야 되는 수 개념(실생활 예시)

초-중 수학 주요 개념

초 5 때 수학 고비를 잘 넘기려면
4학년 때 배우는 분수 개념, 기본 분수 계산과 5학년 때 분수의 심화 계산을 잘 익히고 넘어가야 됩니다.
중. 고등학교 때 수학을 어려워하는 학생들이 많아지면서 첫 수포자들이 초5 때 나온다는 말을 하곤 합니다.
수학은 무수히 많은 개념들이 서로 연결되어 있는 복잡한 과학이지만, 그중에서도 초등학교에서 학생들이 반드시 이해하고 알아두어야 할 중요한 개념들이 있습니다. 그중 약수와 배수는 그런 기본적인 개념 중 하나입니다. 

오늘은 약수와 배수와 연관성이 있는 최대공약수, 최소공배수에 대한 개념과 실생활 예시를 자세히 알아 보겠습니다.

1. 교육 과정 및 성취 기준 살펴보기

✅ 초4 : 분수
[4수 01-09] 양의 등분할을 통하여 분수의 필요성을 인식하고, 분수를 이해하고 읽고 쓸 수 있다.
[4수 01-10] 단위분수, 진분수, 가분수, 대분수를 알고, 그 관계를 이해한다.
[4수 01-11] 분모가 같은 분수끼리, 단위분수끼리 크기를 비교하고 그 방법을 설명할 수 있다.

✅ 초5~6 : 약수, 분수

 

(나) 성취기준 적용 시 고려 사항
• ‘수와 연산’ 영역에서는 용어와 기호로 ‘이상, 이하, 초과, 미만, 올림, 버림, 반올림, 약수, 공약수, 최대공약수, 배수, 공배수, 최소공배수, 약분, 통분, 기약분수’를 다룬다.
• 자연수의 혼합 계산은 계산 순서에 중점을 두고, 지나치게 복잡한 혼합 계산은 다루지 않는다.
• 수의 범위와 올림, 버림, 반올림은 측정 상황과 같이 수나 양의 어림이 필요한 여러 가지 실생활 사례를 통하여 그 의미를 알게 한다.
• 약수와 배수는 실생활에서 활용되는 경우를 찾아 자연수 범위에서 다룬다.
• 약수와 배수를 학습하는 과정에서 약수와 배수의 관계를 이해하게 한다.
• 최대공약수와 최소공배수는 두 수에 대하여 약수와 배수를 각각 나열하여 공통된 약수와 배수를 찾는 방법으로 그 의미를 이해하게 하고, 평가에서 소인수의 곱으로 나타내어 구하는 방법은 다루지 않는다.

 

✅ 중학교 : 소인수분해, 최대공약수, 최소공배수

(가) 성취기준 해설
• [9수 01-02] 초등학교에서 학습한 최대공약수와 최소공배수의 개념을 바탕으로 소인수분해를 이용하여 최대공약수와 최소공배수를 구하게 한다. 최대공약수와 최소공배수는 자연수의 소인수분해를 이용하는 범위에서 다루고, 최대공약수와 최소공배수의 활용 문제는 다루지 않는다.

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2. 초등 약수 ~ 중등 개념 이해하기

✅ 약수 : 어떤 수를 나누어 떨어지게 하는 수입니다.

예를 들어, 6의 약수는 1, 2, 3, 6입니다. 이들 수로 6을 나누면 나머지가 없게 됩니다.

✅ 배수: 어떤 수의 배수는 그 수를 곱하여 얻어지는 수를 의미합니다. 약수의 반대로 배수는 어떤 수의 정수배를 의미합니다. 예를 들어, 3의 배수에는 3, 6, 9, 12, 15 등이 있습니다. 이는 이들 수를 3으로 나누면 나머지가 0이 되기 때문입니다. 

약수와 배수는 상호 연관성이 있습니다. 예를 들어, 3은 6의 약수이며, 6은 3의 배수입니다. 이러한 관계를 이해하는 것은 여러 가지 수학적 문제를 해결하는 데 중요합니다.

약수와 배수는 실생활에서 자주 나타나는 개념입니다. 예를 들어, 케이크를 정확히 나누려면 약수를 알아야 합니다. 배수는 시간이나 일정, 계획을 세우는 데 사용될 수 있습니다. 자세한 생활 속 예시는 아래에 좀 더 자세히 다루겠습니다.

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✅ 공약수: 두 개 이상의 수가 공통으로 가지는 약수를 말합니다. 예를 들어, 8의 약수는 1, 2, 4, 8이고, 12의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 12입니다. 이들의 공통 약수는 1, 2, 4입니다. 이런 수들이 공약수입니다.

✅ 공배수: 두 개 이상의 수에 대한 공통의 배수를 말합니다. 예를 들어, 3의 배수는 3, 6, 9, 12, 15 등이고, 5의 배수는 5, 10, 15, 20 등입니다. 이들의 공통 배수는 15, 30 등이며, 이런 수들이 공배수입니다.

✅ 최대공약수(GCD: Greatest Common Divisor): 최대공약수는 두 개 이상의 수가 공통으로 가지는 약수 중에서 가장 큰 수를 말합니다. 예를 들어, 8과 12의 약수를 생각해 봅니다. 8의 약수는 1, 2, 4, 8이고, 12의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 12입니다. 이들의 공통 약수는 1, 2, 4인데, 이 중 가장 큰 수는 4이므로, 8과 12의 최대공약수는 4입니다.

최대공약수를 아이들에게 설명한다면 이렇게 하면 좋습니다.
- 1단계: 먼저 '약수'에 대해 이해시킵니다. 약수란 어떤 수를 나누어 떨어지게 하는 수를 말합니다. 예를 들어, 12의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 12입니다.

- 2단계: 다음으로 '공약수'에 대해 이해시킵니다. 공약수란 두 개 이상의 수가 공통으로 가지는 약수를 말합니다. 예를 들어, 12와 18의 공약수는 1, 2, 3, 6입니다.

- 3단계: 마지막으로 '최대공약수'에 대해 이해시킵니다. 최대공약수란 공약수 중에서 가장 큰 수를 말합니다. 위의 예에서, 12와 18의 최대공약수는 6입니다.

✅ 최소공배수(LCM: Least Common Multiple): 최소공배수는 두 개 이상의 수가 공통으로 가지는 배수 중에서 가장 작은 수를 말합니다. 예를 들어, 3과 5의 배수를 생각해 봅니다. 3의 배수에는 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30 등이 있고, 5의 배수에는 5, 10, 15, 20, 25, 30 등이 있습니다. 이들의 공통 배수는 15, 30 등이지만, 이 중 가장 작은 수는 15이므로, 3과 5의 최소공배수는 15입니다.

최소공배수를 설명한다면 이렇게 하면 좋습니다.
- 1단계: '배수'에 대해 이해시킵니다. 배수란 어떤 수의 몇 배가 된 수를 말합니다. 예를 들어, 4의 배수는 4, 8, 12, 16, 20, 등입니다.

- 2단계: '공배수'에 대해 이해시킵니다. 공배수란 두 개 이상의 수가 공통으로 가지는 배수를 말합니다. 예를 들어, 4와 5의 공배수는 20, 40, 60, 등입니다.

- 3단계: 마지막으로 '최소공배수'에 대해 이해시킵니다. 최소공배수란 공배수 중에서 가장 작은 수를 말합니다. 위의 예에서, 4와 5의 최소공배수는 20입니다.

✅ 소인수분해: 어떤 수를 소수들만의 곱으로 나타내는 것을 의미합니다. 이 개념은 약수와 배수를 이해하는 데 매우 중요하며, 최대공약수와 최소공배수를 찾는 데도 중요한 도구입니다.

약수와 배수에 대한 이해는 최대공약수(GCD)와 최소공배수(LCM)를 이해하는 데도 필요합니다. 최대공약수는 두 수의 모든 약수 중 가장 큰 약수를 의미하고, 최소공배수는 두 수의 모든 배수 중 가장 작은 배수를 의미합니다. 이러한 개념들은 각종 수학 문제뿐 아니라 일상생활에서도 유용하게 사용될 수 있습니다.

약수와 배수는 초등학교에서 배우는 수학의 기본적인 개념 중 하나입니다. 이 개념들은 서로 연결되어 있으며, 다양한 수학 문제를 해결하는 데 필요합니다.

약수와 배수를 이해하면 다양한 수학 문제를 보다 쉽게 해결할 수 있을 것입니다. 앞으로도 이런 기본 개념들을 확실히 이해하고, 다양한 문제에 적용하는 능력을 키우는 것이 중요합니다. 이는 수학적 사고력을 키우는 데 도움이 될 것입니다.

위의 교육과정 내역을 보면 "약수와 배수는 실생활에서 활용되는 경우를 찾아 자연수 범위에서 다룬다."라는 부분이 있습니다. 이 부분을 집에서 아이들과 적용하기에 좋은 예시를 찾아보겠습니다.

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3. 약수와 배수 실생활 예시

약수와 배수는 다양한 실생활에서 활용되는 수학적 개념입니다. 다음은 그 예시들입니다.

✅ 음악: 음악은 약수와 배수의 좋은 예시입니다. 비트나 리듬을 정할 때 약수와 배수 개념을 사용합니다. 예를 들어, 4/4박자는 한 마디에 4개의 분의 4 음표가 들어갑니다. 이는 4의 배수로 분할될 수 있습니다. 또한, 음악에서는 악기를 연주하거나 곡을 작곡할 때도 이 개념을 사용합니다.

✅ 시간: 24시간제 시간 체계에서도 약수와 배수를 찾을 수 있습니다. 60분은 한 시간, 24시간은 하루입니다. 이러한 시간 단위는 서로 배수 관계에 있습니다. 또한, 시간을 더 쉽게 계산하기 위해 약수 개념을 활용할 수 있습니다.

시간은 24시간제 시스템에서 사용하는 기본 단위인 초, 분, 시간 사이의 배수 관계를 보여줍니다.
초와 분: 1분은 60초와 같습니다. 즉, 1분은 60의 배수입니다. 여기서 60은 1분의 약수가 됩니다. 즉, 1분을 60으로 나누면 1초를 얻을 수 있습니다.
분과 시간: 1시간은 60분과 같습니다. 여기서도, 1시간은 60의 배수이며, 60은 1시간의 약수입니다.
시간과 일: 1일은 24시간입니다. 따라서 1일은 24의 배수이고, 24는 1일의 약수입니다.

이와 같은 시간의 배수 관계를 이해하면 시간의 계산이나 변환을 쉽게 할 수 있습니다. 예를 들어, 120분이 몇 시간인지 바로 알 수 있습니다. 120분은 60분(1시간)의 2배입니다. 따라서 120분은 2시간입니다. 이는 배수와 약수의 개념을 사용한 것입니다.

또한, 이는 우리가 시간을 측정하고 이해하는 방법에 중요한 역할을 합니다. 예를 들어, 우리는 알람을 설정하거나 미팅을 예약하거나 여행을 계획할 때 시간의 배수와 약수 개념을 활용합니다. 이를 통해 우리는 효과적으로 시간을 관리할 수 있습니다.

✅ 요리: 레시피를 준비할 때 종종 약수와 배수 개념이 활용됩니다. 예를 들어, 레시피가 4인분을 위한 것이지만 8명이 왔다면, 재료의 양을 2배로 늘려야 합니다. 이는 배수의 개념입니다. 반면, 2명만 먹는다면 재료의 양을 1/2로 줄여야 하며, 이는 약수의 개념입니다.

✅ 교통: 교통 신호 체계도 약수와 배수의 개념을 활용합니다. 예를 들어, 특정 신호는 10초마다 변경되고 다른 신호는 20초마다 변경됩니다. 이는 10초와 20초가 배수 관계에 있음을 보여줍니다.

이러한 실생활의 예를 통해 약수와 배수, 그리고 이를 이용한 자연수 범위를 이해하는데 도움이 될 수 있습니다.

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4. 공약수 실생활 예시

공약수 개념을 이해할 때 실생활의 예시를 먼저 이해하면 왜 이런 개념이 나왔으며 어떻게 활용되는지 알게 되어 쉽게 접근이 될 것입니다.

🟢 공약수 예시
약수와 배수는 다양한 실생활에서 활용되는 수학적 개념입니다. 다음은 그 예시들입니다.

✅ 피자 나누기: 8조각의 피자를 먹고 있는 당신이 있습니다. 친구 2명이 더 와서 피자를 나눠 먹기로 했습니다. 이 경우, 친구들과 피자 조각을 공평하게 나누려면 8과 3의 공약수를 찾아야 합니다. 8과 3의 공약수는 1이므로, 각자 한 조각씩 받을 수 있습니다.

✅ 운동장 돌기: 당신이 트랙을 8바퀴 돌고, 친구가 12바퀴 돌기로 결정했습니다. 그런데 어떤 시점에서 같이 만나려면 어떻게 해야 할까요? 이럴 때는 8과 12의 공약수를 찾으면 됩니다. 공약수는 1, 2, 4인데, 이 중 가장 큰 수는 4이므로, 트랙을 4바퀴 돌 때마다 같이 만날 수 있습니다.

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5. 최대공약수와 최소공배수 실생활 예시

최대공약수와 최소공배수는 실생활에서 여러 방면에서 활용됩니다. 아래에 그 예시들을 들어 보겠습니다.

🟢 최대공약수 예시
✅ 음악과 댄스:  4/4박자의 음악에 맞추어 2개의 동작을 하는 댄스가 있다면, 이 댄스는 4와 2의 최대공약수인 2의 배수마다 동작이 반복됩니다.

✅ 자원 관리: 최대공약수는 공평하게 자원을 나누는 데 사용될 수 있습니다. 예를 들어, 24개의 사과와 18개의 오렌지를 두 그룹으로 공평하게 나누려면, 24와 18의 최대공약수인 6을 찾아 각 그룹에 6개씩 공평하게 나눌 수 있습니다.

✅ 빵 나눠주기: 상황을 가정해 봅니다. 학교에서 학생들에게 빵을 나눠주려고 하는데, 24개의 빵과 18명의 학생이 있다고 하죠. 학생들에게 공평하게 빵을 나눠주려면 각 학생이 얼마나 받아야 하는지 결정해야 합니다. 이때, 24와 18의 최대공약수를 구하면, 그 값이 곧 각 학생이 받을 수 있는 빵의 수입니다. 24와 18의 최대공약수는 6이므로, 각 학생은 6개씩 빵을 받을 수 있습니다.

✅ 자원 분배: 새로운 프로젝트를 시작하려는 회사에서 2개의 팀이 있습니다. 한 팀은 3명, 다른 팀은 5명으로 구성되어 있다고 가정해 봅니다. 이 회사에서는 각 팀이 동일한 수의 자원을 공유하도록 하려고 합니다. 이 경우, 자원을 공평하게 분배하기 위해 최대공약수를 찾을 수 있습니다. 3과 5의 최대공약수는 1이므로, 각 팀에 1 단위의 자원을 배분할 수 있습니다.

✅ 최적의 포장 단위 찾기: 특정 상품을 판매하는 회사가 있습니다. 이 회사는 고객들에게 4개 또는 6개 단위로 상품을 판매하려고 합니다. 이때, 어떤 크기의 포장이 가장 효율적인지 결정하려면 최대공약수를 찾을 수 있습니다. 4와 6의 최대공약수는 2이므로, 상품을 2개 단위로 포장하는 것이 가장 효율적일 것입니다.

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🟢 최소공배수 예시
✅ 일정 계획: 사람들이 모여 특정한 일정을 계획하려고 할 때, 최소공배수를 사용하여 모두가 만날 수 있는 날을 찾을 수 있습니다. 예를 들어, 한 사람이 2일에 한 번, 또 다른 사람이 3일에 한 번 비는 경우, 이들이 만날 수 있는 가장 빠른 날짜는 2와 3의 최소공배수인 6일째입니다.

 

✅ 일정 계획: 친구 A와 B가 있고, A는 3일에 한 번, B는 5일에 한 번 산책을 가는 습관이 있다고 가정해 봅니다. 만약 두 친구가 같은 날 산책을 하려면 어떤 날짜를 선택해야 할까요? 이럴 때는 3과 5의 최소공배수를 찾으면 됩니다. 3과 5의 최소공배수는 15이므로, 두 친구는 15일마다 같은 날 산책을 할 수 있습니다.

✅ 여행 계획: 여행사는 4일마다 1차례, 6일마다 1차례 특정 여행 상품을 운영한다고 가정해 봅니다. 고객이 두 상품을 모두 경험하고 싶을 경우, 어떤 날에 예약을 해야 할까요? 이럴 때는 4와 6의 최소공배수를 찾으면 됩니다. 4와 6의 최소공배수는 12이므로, 고객은 12일에 예약을 하면 두 상품을 모두 체험할 수 있습니다.

✅ 요리: 레시피를 준비하거나 조정할 때도 최대공약수와 최소공배수를 사용할 수 있습니다. 예를 들어, 서로 다른 두 레시피가 있고, 각각 4인분, 6인분을 위한 레시피라고 가정해 봅니다. 이 두 레시피를 동시에 12인분 만큼 준비하려면, 4와 6의 최소공배수인 12를 사용하여 레시피의 분량을 조정하면 됩니다.

✅ 환경 보호: 재활용 용기를 적절히 정리하거나, 물을 절약하는 등의 환경 보호 활동에 최대공약수와 최소공배수를 사용할 수 있습니다. 예를 들어, 5리터와 3리터의 물통이 있을 때, 특정 양의 물을 측정하려면 두 용기의 최대공약수와 최소공배수를 이용할 수 있습니다.

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이처럼 최대공약수와 최소공배수는 우리 일상생활의 다양한 분야에서 활용되며, 이를 통해 자연수의 범위와 그 관계를 이해하는데 도움이 됩니다.

최대공약수(GCD: Greatest Common Divisor)와 최소공배수(LCM: Least Common Multiple)는 수학적인 문제 해결과 분석에 있어 중요한 도구입니다. 그 이유는 여러 가지가 있습니다:

✅ 수의 관계 이해: GCD와 LCM은 두 수나 더 많은 수 사이의 관계를 이해하는 데 도움이 됩니다. 이들은 두 수가 서로 얼마나 가깝게 관련되어 있는지를 수치화하는 방법을 제공합니다.

✅ 수론의 중요 개념: GCD와 LCM은 수론에서 중요한 개념으로, 약수와 배수의 개념을 확장하고 표현합니다. 이들은 또한 다양한 수학적 증명과 정리에서 중요한 역할을 합니다. 예를 들어, 유클리드 알고리즘은 두 수의 최대공약수를 찾는 데 사용되며, 이는 컴퓨터 과학과 암호학 등 여러 분야에서 중요한 알고리즘입니다.

✅ 문제 해결 도구: GCD와 LCM은 실생활의 문제 해결에서도 유용합니다. 예를 들어, 어떤 사람들이 동시에 모일 수 있는 시간을 찾거나, 공평하게 물건을 나누는 방법을 찾는 등의 문제에서 GCD와 LCM을 활용할 수 있습니다.

따라서, GCD와 LCM은 수의 관계를 분석하고 문제를 해결하는 데 중요한 도구로 쓰이며, 이들을 만든 이유는 이런 다양한 활용성 때문입니다.

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🟢 혹시 최소공약수, 최대공배수라는 말은 없는지 궁금해하는 아이들이 있습니다.
최소공약수라는 개념은 실제로는 존재하지 않습니다. 두 수의 공약수 중에서 가장 큰 수를 최대공약수라고 부르지만, 공약수 중에서 가장 작은 수는 일반적으로 1이기 때문에 특별히 '최소공약수'라는 용어를 사용하지 않습니다.

반면에 최대공배수라는 개념은 존재하지 않습니다. 두 수의 공배수 중에서 가장 작은 수를 최소공배수라고 부르지만, 공배수는 위로 무한히 많기 때문에 '최대공배수'라는 개념은 존재하지 않습니다.

즉, 두 수에 대해 가장 작은 공배수를 찾는 것은 의미가 있지만, 가장 큰 공배수를 찾는 것은 무한히 큰 수를 찾는 것과 같으므로 실질적인 의미가 없습니다.

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6. 교육 과정 다운로드 사이트

"ncic.go.kr" 소개
각 과목(국어, 수학, 영어, 과학, 사회 등)에 대한 교육과정을 자세하게 파일로 확인할 수 있는 사이트입니다.

 

교육부와 수능을 출제하는 한국교육과정평가원에서 공동으로 운영하는 사이트입니다. 

우리나라 교육과정, 교육과정 자료실. 세계의 교육과정, QNA. 지역 교육과정, NCIC 소개. 우수학교 교육과정, 2022 개정 교육과정 등의 내역이 수록되어 있습니다.
현재 2015 개정 교육과정을 기반으로 학교에서 수업을 진행하지만, 24년부터 2022 개정 교육과정이 순차적으로 적용됩니다. 해당 교육과정도 살펴 볼 수 있습니다.

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수학 관련 교육과정 파일을 사이트에서 다운로드하여, 아이들의 교육과정을 천천히 살펴 보면서 공부에 활용해 보시기 바랍니다.

🔽 [참고 자료]🔽
파일1) 2015 개정시기 > 중학교(2015.09) > 수학과 > 별책 8_수학과 교육과정(제2015-74호). pdf
파일 2) 2022 개정시기 > 초등학교(2022.12) > 수학과 > [별책 8] 수학과 교육과정. pdf
(출처: ncic.go.kr)